Переход к хаосу через удвоение периода

Существует несколько универсальных сценариев возникновения хаоса при изменении параметров динамической системы. Удивительно, что они наблюдаются в различных системах, как с дискретным, так и с непрерывным временем.

Каскад бифуркаций удвоения периода

Как мы уже видели, при c < c1 = -3/4 производная в левой неподвижной точке становится меньше -1, точка теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл xo → x1 → xo ... с периодом 2. При этом у второй итерации отображения f o2(x) = f(f(x)) (рисунок внизу направо) появляются две притягивающие неподвижные точки соответствующие периодической орбите и одна отталкивающая неподвижная точка между ними.
Отметим, что первая и центральная часть левой картинок подобны (нужно только поменять знак y). Притягивающая неподвижная точка в центре рисунка снова теряет устойчивость при c < c2 = -5/4 и появляется аттрактор с периодом 4 и т.д. Это явление называется каскадом бифуркаций удвоения периода.
При c3 = -1.375 мы получаем притягивающую орбиту с периодом 8. "Парабола" в центре опять подобна первой картинке.

Универсальный закон подобия

Можно проследить за подобием бифуркаций удвоения периода на бифуркационной диаграмме. На первой картинке в центре вы видите первую бифуркацию удвоения периода. Следующая бифуркация (разветвление) происходит у нижнего края рисунка. Нижняя правая часть рисунка подобна всему изображению. Подобие еще заметнее на втором рисунке, где вторая бифуркация показана в увеличенном масштабе. Снова левая нижняя часть второго рисунка, соответствующая следующей бифуркации, подобна всему изображению. Эта бифуркация приведена на третьем рисунке.
При n → ∞ при каждой новой бифуркации изображения сжимаются в α = 2.5029 раза в горизонтальном направлении (x координата) и в δ =4.669 раза в вертикальном направлении (соответствует параметру c). Более того, эти константы являются универсальными (не зависят от деталей отображения f с квадратичным минимумом). Например, ниже показан каскад удвоения периода для отображения f o3 в окне регулярной динамики с периодом 3
Второй рисунок соответствует левой нижней части первой картинки.

Критический аттрактор

С ростом числа бифуркаций n период орбиты растет как 2n и аттрактор становится очень сложным. Благодаря подобию бифуркаций cn → F (где F = -1.401155... точка Myrberg-Feigenbaum).


Ниже хаотическая орбита с положительным показателем Ляпунова начинается с xo = F, чтобы исключить точку x = 0 .

Обратный каскад удвоения периода

Каскад слияния хаотических зон

При -2 < c < F орбиты отображения выглядят как "случайные" циклы с периодом p = 2k и k растет до бесконечности при приближении c к F. Орбита перемещается последовательно между p интервалами и возвращается в тот же интервал через p итераций. Так на левой картинке внизу p = 2 и первая зона расположена около x = 0, а вторая под ней. С другой стороны, орбита fco2 всегда остается в одном интервале и выглядит совершенно хаотической.
При уменьшении c эти интервалы сливаются попарно так, что "случайный" 2k цикл переходит в 2k-1 цикл. На бифуркационной диаграмме внизу в точке m1 = -1.54369... единственная хаотическая зона расщепляется на две (в горизонтальном x направлении). Следующая точка m2 расщепляет две зоны на четыре и т.д.

Ниже вы видите два последовательных увеличения первой диаграммы (налево). Все диаграммы начинаются в сверхустойчивых точках с периодами-1,2,4 соответственно и заканчиваются в точках слияния зон m0,1,2. Очевидно, что бифуркационные диаграммы при c < F также самоподобны.

"Обратное" удвоение периода окон регулярной динамики

Самые большие окна регулярной динамики на трех приведенных выше диаграммах имеют периоды 3, 6, 12 и они также образуют каскад, сходящийся к точке F. Здесь показаны сверхустойчивые периодические орбиты, соответствующие этим окнам. Очевидно, что эти циклы отличаются от орбит с периодом 6, 12... полученных в результате бифуркаций удвоения периода.

Содержание   «"Переходный" хаос   »Переход к хаосу через перемежаемость
изменено 14 июля 06