Внешние лучи

Динамика отображения fo(z) = z2 очень проста. Напомним, что в полярных координатах z = re2πit получаем rn+1 = rn2 и tn+1 = 2tn mod 1. Последнее есть хорошо известное отображение зуб пилы.

Теорема Бёхтера

При больших |z| можно пренебречь значением c в отображении fc(z) = z2 + c и оно близко к отображению z2. Эту эквивалентность можно продолжить до границы связного множества Жулиа (и единичной окружности соответственно). По теореме Бёхтера [1] существует аналитический изоморфизм w = φ(z) отображения f в z2 или φ o f o φ-1(w) = w2. На бесконечности φ(z) асимптотически стремится к тождественному отображению.

Чтобы вычислить |φ(z)| в точке z мы следуем за ее орбитой zk = fcok(z) пока на некотором шаге k не достигнем точки достаточно далекой от 0, где fc близко к fozk к wk). Далее нужно сделать k итераций fo-1 (в "обратном" направлении)
    |φ(z)| = limk→∞ |f ok(z)|1/2k.
Вычисление угловой зависимости Arg(φ(z)) осложняется тем, что w1/2 неоднозначная функция.

Функция Грина и внешние лучи множества Жулиа

Из 2D электростатики хорошо известно, что если есть аналитическая функция w = φ(z) отображающая внешность множества Жулиа на внешность единичного круга, то потенциал (функция Грина) "заряженного" множества Жулиа в точке z равен потенциалу заряженной единичной окружности G = ln|w| (в точке w)
    G(z) = limn→∞ ln|f on(z)| / 2n.
Отсюда также следует
    G(f(z)) = 2 G(z).
Очевидно, что далеко от заряженного тела эквипотенциальные поверхности - окружности. Пусть R окружность большого радиуса, тогда
    G(f -ok(R)) = G(R)/2k = const
поэтому прообразы этой окружности будут эквипотенциальными поверхностями множества Жулиа (см. рисунок налево при R = 10).

Силовые линии электрического поля (ортогональные к эквипотенциальным повержностям) называются внешними лучами. Они являются прообразами силовых линий заряженной окружности r exp(2πit), r>1.

Каждый такой луч Rt определяется его углом на бесконечности t. Благодаря изоморфизму φ(z) динамика внешних лучей при отображении f совпадает с динамикой прямых лучей выходящих из начала координат под действием z2. Например
    f(Rt ) = R2t .
На этом рисунке каждая точка окрашена в красный, зеленый или синий цвет, если при r > 10 ее орбита попадает в сектор (0o, 120o), (120o, 240o), (240o, 360o) соответственно. При достаточном терпении вы можете проследить за эквипотенциальными поверхностями и ортогональными к ним силовыми линиями. На рисунке помечены внешние лучи с углами t = 0, 1/4, 1/3, 1/2... .
Наконец здесь внешние лучи с углами p/12 при p = 0,2,..11 построены с помощью алгоритма, предложенного Wolf Jung. Т.к. я использовал самый простой вариант, то это приложение содержит некоторые ошибки. Если вам нужна гибкая и аккуратная программа для исследования внешних лучей и многого другого, используйте Mandel.

Я благодарен Адаму Мажевски (Adam Majewski) за то, что он убедил меня перевести алгоритм Джанга на Яву.

Вычисление внешних углов

Для квадратичного отображения f on = [f o(n-1)]2 + c можно написать тождественно
f on = (f o(n-1))2 [f on/(f o(n-1))2] = (f o(n-1))2 [f on/(f on - c)].
Поэтому получается рекурсивно
φc(z) = limn→∞ [fcon(z)]1/2n = z ∏n=1,∞ [fcon(z)/(fcon(z)-c)]1/2n
и для внешних углов соответственно
argc(z) = arg(z) + ∑n=1,∞1/2n arg(fcon(z)/(fcon(z)-c)).
Wolf Jung использовал эту формулу вля вычисления внешних углов с некоторой дополнительной "магией" при
|arg(fcon(z)/(fcon(z)-c))| > π.

Внешние лучи множества Мандельброта

Если множество Жулиа несвязно (является канторовой пылью), тогда G(0) = G(c)/2 > 0 играет особую роль. Существует канонический конформный изоморфизм w = ψc(z) из открытого множества G(z) > G(0) в область log|w|>G(0). Отображение z → f(z) в этой области сопряжено через ψc отображению w → w2. Эквипотенциалы и динамические лучи на z-плоскости соответствуют концентрическим окружностям и лучам проходящим через начало координат w-плоскости соответственно.
Если выбрать константу Go > G(0), тогда G(z) = Go - простая замкнутая кривая, канонически параметризуемая углами динамических лучей. В частности критическое значение z = fc(0) = c имеет хорошо определенный внешний угол t(c). Однако, при Go = G(0) точки G(z) = G(0) образуют восьмерку (см. налево). Открытое множество G(z) < G(0) разбивается на объединение несвязанных областей Uo и U1 заключенных внутри двух частей восьмерки.
Согласно Дуади и Хаббарду ψc - конформный изоморфизм из дополнения множества Мандельброта на дополнение единичного диска. Он определяет эквипотенциальные кривые и внешние лучи множества Мандельброта.

Известно, что внешние лучи с рациональными углами касаются M, т.е.
    lim r→1 ψ-1(re2πit)
существует и это единственная точка на границе M. Например, луч с углом 0 лежит на вещественной оси и касается M в особенности главной кардиоиды C = 1/4. Луч с углом 1/2 лежит на отрицательной вещественной оси и касается M в кончике главной антенны C = -2.

[1] Дж. Милнор Голоморфная динамика Preprint ims90-5


Содержание   «Симметрия множества Жулиа   »Периодические орбиты и внешние лучи
изменено 22 марта 08