Чтобы вычислить |φ(z)| в точке z мы следуем за ее
орбитой zk = fcok(z) пока на некотором
шаге k не достигнем точки достаточно далекой от 0, где
fc близко к fo (и zk к
wk). Далее нужно сделать k итераций
fo-1 (в "обратном" направлении)
|φ(z)| = limk→∞
|f ok(z)|1/2k.
Вычисление угловой зависимости Arg(φ(z)) осложняется тем,
что w1/2 неоднозначная функция.
|
G(z) = limn→∞ ln|f on(z)|
/ 2n.
Отсюда также следует G(f(z)) = 2 G(z). Очевидно, что далеко от заряженного тела эквипотенциальные поверхности - окружности. Пусть R окружность большого радиуса, тогда G(f -ok(R)) = G(R)/2k = const поэтому прообразы этой окружности будут эквипотенциальными поверхностями множества Жулиа (см. рисунок налево при R = 10). Силовые линии электрического поля (ортогональные к эквипотенциальным повержностям) называются внешними лучами. Они являются прообразами силовых линий заряженной окружности r exp(2πit), r>1. |
|
Каждый такой луч Rt определяется его углом на бесконечности
t.
Благодаря изоморфизму φ(z) динамика внешних лучей при отображении
f совпадает с динамикой прямых лучей выходящих из начала координат
под действием z2. Например
f(Rt ) = R2t . На этом рисунке каждая точка окрашена в красный, зеленый или синий цвет, если при r > 10 ее орбита попадает в сектор (0o, 120o), (120o, 240o), (240o, 360o) соответственно. При достаточном терпении вы можете проследить за эквипотенциальными поверхностями и ортогональными к ним силовыми линиями. На рисунке помечены внешние лучи с углами t = 0, 1/4, 1/3, 1/2... . |
|
Наконец здесь внешние лучи с углами p/12 при p = 0,2,..11
построены с помощью алгоритма, предложенного
Wolf Jung.
Т.к. я использовал самый простой вариант, то это приложение содержит
некоторые ошибки.
Если вам нужна гибкая и аккуратная программа для исследования внешних лучей
и многого другого, используйте
Mandel.
Я благодарен Адаму Мажевски (Adam Majewski) за то, что он убедил меня перевести алгоритм Джанга на Яву. |
| Если выбрать константу Go > G(0), тогда G(z) = Go - простая замкнутая кривая, канонически параметризуемая углами динамических лучей. В частности критическое значение z = fc(0) = c имеет хорошо определенный внешний угол t(c). Однако, при Go = G(0) точки G(z) = G(0) образуют восьмерку (см. налево). Открытое множество G(z) < G(0) разбивается на объединение несвязанных областей Uo и U1 заключенных внутри двух частей восьмерки. |
|
Согласно Дуади и Хаббарду ψc - конформный изоморфизм
из дополнения множества Мандельброта на дополнение единичного диска.
Он определяет эквипотенциальные кривые и внешние лучи множества Мандельброта.
Известно, что внешние лучи с рациональными углами касаются M, т.е.
|
[1] Дж. Милнор Голоморфная динамика Preprint ims90-5