Упорядочивание областей регулярной динамики
Jason A.C. Gallas

Для двухпараметрического диффеоморфизма Эно
    x' = -x2 + by + a
    y' = x

пространство параметров организовано очень регулярным образом (обратите внимание на знак слагаемого -x2). Сложные "ракообразные" структуры показаны ниже. Каждая креветка состоит из основного тела с периодом k плюс бесконечная последовательность соседних областей с периодами k 2n, т.е. следующими сценарию перехода к хаосу через удвоения периода. Большинство креветок состоит из четырех основных ножек составленных из бесконечного числа непрерывных и гладких сегментов, образующихся при пересечении с ножками других креветок.

Управление "Охотником за креветками" Щелкните мышкой, чтобы определить период p в указанной точке. Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить (уменьшить) изображение в 2 раза. Держите <Shift> чтобы изменить масштаб в 4 раза.

Удивительная регулярность состоит в том, что посуществу все креветки ориентированы вдоль одного выделенного направления α выделенного красной прямой b = - 0.583a + 1.025 (см. Fig.1 внизу). Часть этого направления показана выше. Эта картинка - увеличенное изображение области вокруг 8'-креветки в следующем окне. Плотные "слои" приблизительно параллельных линий налево и направо от нее выходят из креветок, расположенных почти исключительно вдоль α.


Из этого рисунка следует, что большая часть динамики унимодальных отображений (динамики квадратичного отображения вдоль b = 0) соответствут "пересечению слоев ножек" идущих вниз от креветок расположенных в области сверху. Кажущийся случайным порядок окон периодичности вдоль b = 0 на самом деле есть следствие упорядочивания креветок вдоль α.

Замечание Из-за медленной сходимости итераций около бифуркаций удвоения периода на рисунка появляются черные полосы между областями с разными периодами. Последний апплет делает только 300 итераций в каждой точке. Если вам не нравятся эти полосы используйте многопоточный "Охотник за креветками" с it = 2000 .

[1] J.A.C.Gallas Structure of the parameter space of the Henon map Phys.Rev.Lett., 70, 2714(1993).


Содержание   «Бифуркационная диаграмма   »Странный аттрактор Эно
изменено 19 мая 06