Для двухпараметрического диффеоморфизма Эно
x' = -x2 + by + a
y' = x
пространство параметров организовано очень регулярным образом
(обратите внимание на знак слагаемого -x2).
Сложные "ракообразные" структуры показаны ниже. Каждая креветка состоит из
основного тела с периодом k плюс бесконечная последовательность
соседних областей с периодами k 2n, т.е. следующими
сценарию перехода к хаосу через удвоения периода. Большинство креветок
состоит из четырех основных ножек составленных из бесконечного числа
непрерывных и гладких сегментов, образующихся при пересечении с ножками
других креветок.
Управление "Охотником за креветками"
Щелкните мышкой, чтобы определить период p в указанной точке.
Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить
(уменьшить) изображение в 2 раза.
Держите <Shift> чтобы изменить масштаб в 4 раза.
Удивительная регулярность состоит в том, что посуществу все
креветки ориентированы вдоль одного выделенного направления
α выделенного красной прямой b = - 0.583a + 1.025
(см. Fig.1 внизу). Часть этого направления показана выше.
Эта картинка - увеличенное изображение области вокруг 8'-креветки
в следующем окне. Плотные "слои" приблизительно параллельных линий
налево и направо от нее выходят из креветок, расположенных почти
исключительно вдоль α.
Из этого рисунка следует, что большая часть динамики унимодальных
отображений (динамики квадратичного отображения вдоль b = 0)
соответствут "пересечению слоев ножек" идущих вниз от креветок расположенных
в области сверху. Кажущийся случайным порядок окон
периодичности вдоль b = 0 на самом деле есть следствие упорядочивания
креветок вдоль α.
Замечание Из-за медленной сходимости итераций около бифуркаций удвоения периода на рисунка появляются черные полосы между областями с разными периодами. Последний апплет делает только 300 итераций в каждой точке. Если вам не нравятся эти полосы используйте многопоточный "Охотник за креветками" с it = 2000 .
[1] J.A.C.Gallas Structure of the parameter space of the Henon map Phys.Rev.Lett., 70, 2714(1993).