Проблема 3-тел
Перед тем, как обратиться к атому гелия, нам нужно напомнить некоторые
основные понятия. Смотрите подробности в [1-3] или переходите прямо к
"Коллинеарной динамике атома гелия" внизу страницы, чтобы опустить математику.
Классическая динамика атома гелия
Рассмотрим сначала классическую динамику атома водорода. Хорошо известно,
что связанный электрон движется по кеплеровским эллиптическим орбитам с
ядром в одной из фокальных точек.
Если импульс электрона p направлен прямо на ядро,
тогда эллипс вырождается в кусок линии. В этом случае мы получаем
систему с одной степенью свободы с гамильтонианом
H = p2/2m - e2/r = E
где E - полная энергия элекрона. Далее мы полагаем m = e = 1.
Масштабная инвариантность
Кеплеровская динамика инвариантна относительно масштабного преобразования.
Решение с произвольной энергией E < 0 можно преобразовать
в решение с энергией Eo = -1 с помощью преобразования
координат и времени
r(E) = r / (-E),
p(E) = (-E)1/2p,
t(E) = t / (-E)-3/2.
Регуляризация
H(p,r) сингулярен в r = 0 поэтому, когда электрон подходит
близко к ядру, сила и ускорение становятся бесконечно большими. Регуляризация
достигается [1] с помощью преобразования Леви-Чивита. Оно состоит
из зависящего от координат преобразования времени (которое растягивает
время около начала координат) и канонического преобразования координат
фазового пространства.
Известно, что преобразование времени dt = f(p,q)ds для гамильтоновой
системы с H(q,p) = E оставляет гамильтонову структуру уравнений
движения, если гамильтониан трансформируется в H' = f(q,p)[H(p,q) - E].
Выберем dt = r ds, что снимает особенность при
|r| -> 0 и ведет к новому гамильтониану
H' = rp2/2 - 1 - Er = 0 .
Далее каноническое преобразование
r = Q2, p = P/2Q
сводит Кеплерову задачу к гармоническому осциллятору с гамильтонианом
H(Q,P) = P2/8 - EQ2 = 1.
Коллинеарный атом гелий
Коллинеарный eZe атом гелия с двумя электронами, расположенными
вдоль прямой на противоположных сторонах от ядра [1-3] является системой
с двумя степенями свободы с гамильтонианом
H = p12/2 +
p22/2 - 2/r1 - 2/r2 +
1/(r1 + r2) = E
Положим
r1 = Q12,
r2 = Q22,
p1 = P1/2Q1,
p2 = P2/2Q2,
R122 = Q12 +
Q22,
ds = dt/r1r2 .
Тогда гамильтониан становится
H = (Q22P12 +
Q12P22)/8 -
2R122 +
Q12Q22(
1/R122 - E) = 0
и уравнения движения
P1' = 2Q1[2 -
P22/8 + Q22(E -
Q22/R124)]
P2' = 2Q2[2 -
P12/8 + Q12(E -
Q12/R124)]
Q1' = P1Q22/4
Q2' = P2Q12/4
где штрих означает производную по "времени" s.
Масштабные преобразования теперь становятся
Qi(E) = Qi / (-E)1/2 ,
Pi(E) = Pi ,
s(E) = (-E)1/2 s .
Заметим, что Pi не зависит от E и
|Pi| -> 4 если Qi -> 0.
Липфрог алгоритм
Для системы уравнений первого порядка
r' = v , v' = F(v)
использована простая разностная схема для липфрог алгоритма
r1/2 = r0 +
v0 dt/2,
v1 = v0 +
F(r1/2) dt,
r1 = r1/2 +
v1 dt/2,
где индексы 0 и 1 соответствуют значениям на начальном и
конечном шагах соответственно.
Коллинеарная динамика атома гелия
Динамика зависит критически от условий E > 0 или E < 0.
Если энергия положительна, оба электрона могут уйти на бесконечность.
Однако, один электрон может уйти на бесконечность и при отрицательной E
унося с собой и кинетическую энергию, т.к. потенциальная энергия оставшегося
электрона не ограничена снизу. Более того, электрон освободится с течением
времени почти при всех начальных условиях!
Налево внизу вы видите динамику двух электронов на фазовой плоскости
x = r1/2 = |Q| ,
y = 2pr1/2 = P sign(Q) .
Направо та же орбита строится на плоскости
(r11/2, r21/2).
Анимация останавливается, когда один из |Pi| становится
больше 7. Щелкните мышкой, чтобы задать новые координаты электрона.
Нажмите "Enter" чтобы ввести ds или "Delay".
[1] P.Cvitanovic et al.
Classical and Quantum
Chaos Chap.24: Helium atom
[2] Gregor Tanner, Klaus Richter and Jan-Michael Rost
"The theory of two-electron atoms: between ground state and complete
fragmentation"
Rev.Mod.Phys. 72, 497 (2000)
[3] Klaus Richter, Gregor Tanner and Dieter Wintgen
"Classical mechanics of two-electron atoms"
Phys.Rev.A 48, 4182 (1993)
Содержание
«Консервативное отображение Эно
»Отображение Пуанкаре
изменено 22 мая 06