Проблема 3-тел

Перед тем, как обратиться к атому гелия, нам нужно напомнить некоторые основные понятия. Смотрите подробности в [1-3] или переходите прямо к "Коллинеарной динамике атома гелия" внизу страницы, чтобы опустить математику.

Классическая динамика атома гелия

Рассмотрим сначала классическую динамику атома водорода. Хорошо известно, что связанный электрон движется по кеплеровским эллиптическим орбитам с ядром в одной из фокальных точек.

Если импульс электрона p направлен прямо на ядро, тогда эллипс вырождается в кусок линии. В этом случае мы получаем систему с одной степенью свободы с гамильтонианом
    H = p2/2m - e2/r = E
где E - полная энергия элекрона. Далее мы полагаем m = e = 1.

Масштабная инвариантность

Кеплеровская динамика инвариантна относительно масштабного преобразования. Решение с произвольной энергией E < 0 можно преобразовать в решение с энергией Eo = -1 с помощью преобразования координат и времени
    r(E) = r / (-E),     p(E) = (-E)1/2p,     t(E) = t / (-E)-3/2.

Регуляризация

H(p,r) сингулярен в r = 0 поэтому, когда электрон подходит близко к ядру, сила и ускорение становятся бесконечно большими. Регуляризация достигается [1] с помощью преобразования Леви-Чивита. Оно состоит из зависящего от координат преобразования времени (которое растягивает время около начала координат) и канонического преобразования координат фазового пространства.

Известно, что преобразование времени dt = f(p,q)ds для гамильтоновой системы с H(q,p) = E оставляет гамильтонову структуру уравнений движения, если гамильтониан трансформируется в H' = f(q,p)[H(p,q) - E]. Выберем dt = r ds, что снимает особенность при |r| -> 0 и ведет к новому гамильтониану
    H' = rp2/2 - 1 - Er = 0 .
Далее каноническое преобразование
    r = Q2,   p = P/2Q
сводит Кеплерову задачу к гармоническому осциллятору с гамильтонианом
    H(Q,P) = P2/8 - EQ2 = 1.

Коллинеарный атом гелий

Коллинеарный eZe атом гелия с двумя электронами, расположенными вдоль прямой на противоположных сторонах от ядра [1-3] является системой с двумя степенями свободы с гамильтонианом
    H = p12/2 + p22/2 - 2/r1 - 2/r2 + 1/(r1 + r2) = E
Положим
    r1 = Q12,   r2 = Q22,   p1 = P1/2Q1,   p2 = P2/2Q2,     R122 = Q12 + Q22,
    ds = dt/r1r2
.
Тогда гамильтониан становится
    H = (Q22P12 + Q12P22)/8 - 2R122 + Q12Q22( 1/R122 - E) = 0
и уравнения движения
    P1' = 2Q1[2 - P22/8 + Q22(E - Q22/R124)]
    P2' = 2Q2[2 - P12/8 + Q12(E - Q12/R124)]
    Q1' = P1Q22/4
    Q2' = P2Q12/4

где штрих означает производную по "времени" s. Масштабные преобразования теперь становятся
    Qi(E) = Qi / (-E)1/2 ,     Pi(E) = Pi ,     s(E) = (-E)1/2 s .
Заметим, что Pi не зависит от E и |Pi| -> 4 если Qi -> 0.

Липфрог алгоритм

Для системы уравнений первого порядка
    r' = v ,   v' = F(v)
использована простая разностная схема для липфрог алгоритма
    r1/2 = r0 + v0 dt/2,
    v1 = v0 + F(r1/2) dt,
    r1 = r1/2 + v1 dt/2,
где индексы 0 и 1 соответствуют значениям на начальном и конечном шагах соответственно.

Коллинеарная динамика атома гелия

Динамика зависит критически от условий E > 0 или E < 0. Если энергия положительна, оба электрона могут уйти на бесконечность. Однако, один электрон может уйти на бесконечность и при отрицательной E унося с собой и кинетическую энергию, т.к. потенциальная энергия оставшегося электрона не ограничена снизу. Более того, электрон освободится с течением времени почти при всех начальных условиях!

Налево внизу вы видите динамику двух электронов на фазовой плоскости
    x = r1/2 = |Q| ,
    y = 2pr1/2 = P sign(Q)
.
Направо та же орбита строится на плоскости (r11/2, r21/2).

Анимация останавливается, когда один из |Pi| становится больше 7. Щелкните мышкой, чтобы задать новые координаты электрона. Нажмите "Enter" чтобы ввести ds или "Delay".

[1] P.Cvitanovic et al. Classical and Quantum Chaos Chap.24: Helium atom
[2] Gregor Tanner, Klaus Richter and Jan-Michael Rost
"The theory of two-electron atoms: between ground state and complete fragmentation"
Rev.Mod.Phys. 72, 497 (2000)
[3] Klaus Richter, Gregor Tanner and Dieter Wintgen
"Classical mechanics of two-electron atoms" Phys.Rev.A 48, 4182 (1993)


Содержание   «Консервативное отображение Эно   »Отображение Пуанкаре
изменено 22 мая 06