Бифуркации отображения Эно

Бифуркация седло-узел

На левом рисунке вверху видно, как при a = -0.1, b = 0.5 красная неустойчивая сепаратриса седловой точки x1 стремится к аттрактору x2 . Как следует из правого рисунка, устойчивая синяя сепаратриса ограничивает область притяжения атрактора. В этой области цвета показывают, как быстро точки сходятся к аттрактору! Быстрее всего точки стремятся к нему вдоль желтой линии соответствующей неустойчивой сепаратрисе.

Две точки x1 , x2 рождаются в бифуркации седло-узел при уменьшении a. В одномерном случае ей соответствует касательная бифуркация. На рисунке слева вы видите как устойчивое многообразие зарождается перед появлением пары неподвижных точек. Обратите внимание, что на этом рисунке цвета соответствуют скорости ухода на бесконечность. Дольше всего задерживаются фиолетовые точки.

Бифуркации удвоения периода

При a = -0.5 левая неподвижная точка точка теряет устойчивость и становится седловой. При этом возникает притягивающий цикл с периодом 2 (две желтые области справа). Красная неустойчивая сепаратриса седла x1 идет к седлу x2, а черная устойчивая сепаратриса идет в обратном направлении. Около x1 черная сепаратриса пересекается с красной образуя характерную гетероклиническую осциллирующую структуру. Ее видно на правом рисунке и налево при больших N > 15. Однако точки уходят с хаотического репеллера гетероклинической структуры к устойчивому циклу.
Цикл с периодом 2 соответствует притягивающей неподвижной точке отображения f o2. При уменьшении a происходит следующая бифуркация удвоения и она также превращается в седло. Последние два рисунка соответствуют аттрактору с периодом 4. Вы можете разглядеть гетероклинические структуры, образованные пересечениями черной и красной сепаратрис. Интересно было бы проследить также за сепаратрисами вновь образовавшегося седла :) При каждой новой бифуркации их становится все больше.

Странный аттрактор и гомоклинические структуры

Направо построен странный аттрактор Эно при a = -1.1 и b = 0.46 . Сравните его с неустойчивыми многообразиями Wu (красная и зеленая кривые) гиперболических точек x1,2 налево. Чтобы "утоньшить" устойчивые многообразия Ws (внутри областей синего и черного цвета), увеличивайте N. При этом Wu быстро утоньшатся и "пропадут", а Ws будут становиться чрезвычайно сложными.
Очевидно, что устойчивые и неустойчивые многообразия имеют множество гомо- и гетероклинических пересечений. Поэтому в области пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий у отображения существует счетное множество неустойчивых периодических и континуум хаотических орбит.

И что то неудержимо тянет точки к этому очень странному множеству :)

Фрактальные репеллеры

Наконец при a = -1.4 все орбиты уходят на бесконечность. На правой картинке виден "след", оставленный устойчивыми многообразиями седловых точек. Вдоль тангенциальных неустойчивых направлений точки уходят на бесконечность.
Еще один забавный репеллер в области b > 1. В нем виден след от неустойчивого цикла с периодом 2.

Содержание   «Гомоклинические орбиты и подкова Смейла   »Бифуркационная диаграмма
изменено 10 июля 07