Гомоклинические структуры и подкова Смейла

Подкова Смейла

Мы уже видели, как подкова появляется в отображении Эно. Теперь поищем фрактальное инвариантное множество. Серый квадрат с вершинами (± 3.9, ± 3.9) переводится отображением в голубую подкову (нас будет интересовать отображение только внутри этого квадрата). После второй итерации получается синяя двойная подкова. Точно также обратное отображение переводит квадрат сначала в светло-зеленую, а затем в зеленую двойную подкову. Точки из правой половины квадрата отображаются в верхнюю голубую полосу, а из левой в нижнюю (вы можете проверить это двигая мышкой маленький квадрат, см. также цветную подкову отображения Эно). После второй итерации две голубые полосы из правой (левой) половины квадрата отображаются в две синие полосы внутри верхней (нижней) голубой полосы.
Щелкните мышкой с <Alt>/<Ctrl>, чтобы изменить масштаб рисунка. Центр маленького квадрата отображается в точку, помеченную большим крестом.
Точки инвариантного множества (те которые не уходят на бесконечность и всегда остаются внутри квадрата) лежат в пересечении двух трансверсальных подков. Они окрашены в розовый или красный цвет. При каждой последующей итерации внутри любой области возникает четыре новые (нажмите кнопку "+", чтобы убедиться в этом). При N → ∞ образуется фрактальный канторов репеллер.

Устойчивые и неустойчивые многообразия и гомоклинические структуры

Для гиперболической неподвижной точки можно построить устойчивое Ws и неустойчивое Wu многообразия, состоящие изо всех точек, которые при итерациях отображения стремятся к ней при N → ∞ и -∞ соответственно. В двумерном случае это седловая точка и две идущие к ней устойчивые и две выходящие из нее неустойчивые сепаратрисы.

Т.к. любая область неподвижной точки растягивается при итерациях отображения вдоль неустойчивого многообразия и сжимается в трансверсальном направлении, то качестенно за неустойчивыми сепаратрисами можно проследить, если наблюдать за этой эволюцией. Чтобы построить устойчивые сепаратрисы следует итерировать обратное отображение. Ниже вы видите результаты N итераций окрестности (радиуса R) неподвижной точки x1 отображения Эно. С помощью мышки и квадрата легко убедиться, что устойчивые сепаратрисы окрашены в синий цвет, а неустойчивые в красный.
Квадрат в центре отображается в область с инвертированным цветом слева. Потащите мышкой этот квадрат, чтобы посмотреть, куда отображается интересующая вас точка. Щелкните мышкой с <Alt>/<Ctrl>, чтобы изменить масштаб рисунка.
Пусть устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекается в некоторой гомоклинической точке go . Эта точка лежит на устойчивом многообразии и ее итерации сходятся к седлу. Т.к. эта орбита проходит через g1 = f(go ), то эта точка также лежит на ws . При итерациях обратного отображения орбита go стремится к седлу вдоль неустойчивого многообразия. Т.к. g1 = f-1(go ), то при итерациях обратного отображения она также будет стремиться к x1 . Т.е. g1 лежит на нейстойчивой сепаратрисе и является пересечением ws и wu . Поэтому имеется бесконечное множество пересечений g2 , g3 ...
Увеличивая N вы видите, что сепаратрисы устроены чрезвычайно сложно, точек пересечения очень много и в них легко запутаться...
что свиделеьствует о невероятной сложности динамики :)

Чтобы сделать это утверждение более строгим, покажем, что присутствие гомоклинической структуры свидетельствует о наличии у отображения подковы Смейла.

Пусть у отображения есть гомоклиническая точка go . Выберем некоторую область D вокруг седла. A = f ok(D) будет растягиваться вдоль неустойчивой сепаратрисы и при некотором k достигнет гомоклинической точки. Аналогично, область B = f -om(D) будет растягиваться вдоль устойчивой сепаратрисы и также достигнет go . Поэтому f -o(k+m) переводит область A в B и задает отображение подковы, как это показано на рисунке.
Точки пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий двух разных гиперболических точек называются гетероклиническими. Для них также строится отображение подковы и фрактальные странные множества.


Содержание   «Отображение Эно   »Бифуркации отображения
изменено 6 июля 07