Хаос в квадратичных отображениях

Fig.1 иллюстрирует для квадратичного отображения преобразования растяжения и складывание интервала Ic = [-x2, x2] в себя (здесь x2 = 1/2 + (1/4 - c)1/2 - правая неустойчивая неподвижная точка, выбрана точка Myrberg-Feigenbaum c = -1.401155). Точки вне Ic уходят на бесконечность. После одного применения fc , все точки уходят из [-x2, c). Интервал (c2+c, x2] сжимается при каждой итерации. Точки покидают его и никогда не возвращаются. Т.о. все точки из Ic попадают в аттрактор [c, c2+c] , ограниченный кривыми g1(c) = c и g2(c) = c2+c .
На изображении слева внизу цвет пиксела на плоскости (x, c) показывает, как быстро итерации стартующие из данной точки уходят на бесконечность. "Усы" снизу соответствуют канторову неустойчивому неподвижному множеству. Обратите внимание, что итерации расходятся при любых c, если |x| > 2. Вы видите на левом рисунке интервал Ic (черная область соответствует ограниченным орбитам) и хаотический аттрактор справа при различных значениях c.

Хаотическая динамика при c = -2

Рассмотрим динамику квадратичного отображения при c = -2
    xn+1 = xn2 - 2 .
Оно отображает интервал [-2,2] в себя. Сделаем подстановку x = 2 cos(πy), где -2≤ x≤ 2 и 0≤ y≤1. После подстановки получим
    cos(πyn+1) = 2 cos2(πyn ) - 1 = cos(2πyn ).
Откуда при yn ≤ 1/2 следует
    yn+1 = 2yn .
При yn > 1/2 с помощью формулы cos(2πyn ) = cos(2π-2πyn ) приводя аргумент косинуса к интервалу [0,π] получим
    yn+1 = 2 - 2yn.
Это хаотическое отображение тент. Поэтому квадратичное отображение при c = -2 также имеет плотное на интервале [-2, 2] множество неустойчивых периодических орбит и континуум хаотических траекторий.

Инвариантные распределения

Дифференцируя x = 2 cos(πy) получим
    |dx| = 2π |sin(πy)| dy = π(4 - x2)1/2 dy.       (1)
Для отображения тент (как и для зуба пилы) инвариантное распределение ρ(y) = 1. Поэтому относительное число точек хаотической траектории в интервале dy равно ρ(y)dy = dy. Эти точки переходят в интервал dx из (1), поэтому ρ(x)dx = dy и инвариантная плотность для квадратичного отображения при c = -2
    ρ(x) = dy / |dx| = 1/π(4 - x2) -1/2.
Среднее растяжение вдоль хаотической орбиты при c = -2
    ∫ |2x| ρ(x) dx = 8/π = 2.546 .
Инвариантное распределение качественно показано слева на бифуркационной диаграмме (красный цвет соответствует большей плотности).


Аналогичные распределения получаются для точек слияния хаотических зон и точек кризисов (два из них приведены выше).

Ниже показаны более сложные хаотические области и плотности.

Показатели Ляпунова

Для квадратичного отображения f '(x) = 2x и при c = -2 показатель Ляпунова можно вычислить через плотность инвариантного распределения
    Λ = ∫ ln|2x| ρ(x) dx = ln 2 = 0.693... .
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения при c = -2. Изменяя xo вы можете убедиться, что показатель Ляпунова L вычисленный по отрезку такой траектории близок к точному значению Λ и хаотичны (т.е. L > 0) почти все траектории. Исключение составляет множество начальных точек меры ноль (например, xo = 0).

Управление: потащите мышкой синюю кривую, чтобы изменить значение C. Держите <Shift>, чтобы изменить начальное значение xo. Нажмите <Enter> чтобы ввести новые значения параметров из текстовых полей. L - показатель Ляпунова вычисленный по данной траектории.
Содержание   «Подобие окон регулярной динамики   »Канторовы структуры
изменено 5 июля 06