Внешние лучи для первичных листьев
В [1] Девани приводит некоторые факты о внешних M-лучах листьев касающихся
главной кадиоиды.
Напомним, что Bp/q лист состоит из значений c
при которых у квадратичного отображения есть притягивающий q-цикл.
Корневой точки p/q-листа касаются два M-луча и угол каждого из этих лучей
имеет период q относительно удвоения. Углы двух параметрических лучей
совпадают с углами динамических лучей, ограничивающих сектор критического
значения S1. Корнеая точка p/q-листа делит M
на две части. Компонент содержащий этот лист называется p/q веткой.
Например налево от кардиоиды (правый рисунок) находится самый большой
1/2-лист, поэтому его корневой точки должны касаться два луча с
периодом 2 относительно удвоения. Два единственных таких угла 1/3
и 2/3. Налево два динамических луча с углами 1/3 и 2/3
касаются неустойчивой неподвижной точки z2. Зеленый сектор
S1 содержит точку z = c.
|
|
Рассмотрим 1/3-лист сверху от главной кардиоиды. Этот лист лежит
между лучами 0 и 1/3. Только два угла между 0 и 1/3
имеют период 3 при удвоении - 1/7 и 2/7, поэтому эти лучи
касаются корневой точки 1/3.
|
|
|
|
2/5-лист лежит между листьями 1/3 и 1/2. Поэтому
два луча должны иметь период 5 относительно удвоениея и лежать между
2/7 и 1/3. Единственные два таких угла 9/31 и
10/31, т.о. эти два луча касаются 2/5-листа.
Лучи касающиеся p/q-листа
Пусть Rp/q означает p/q-поворот единичной окружности,
т.е.
Rp/q(θ) =
e2πi(θ+p/q).
Рассмотрим символические последовательности возникающие при вращении
R с использованием двух разбиений окружности.
Нижнее разбиение окружности определяется как
I0- = (0, 1-p/q] и
I1- = (1-p/q, 1].
Мы определим нижнюю последовательность s-(p/q)
для p/q, возникающую при вращении Rp/q относительно
этого разбиения. Например, s-(1/3) = 001 т.к.
I0- = (0, 2/3], I1- = (2/3, 1]
и орбита 1/3 → 2/3 → 1 → 1/3... лежит в
I0-, I0-,
I1- соответственно. Аналогично
s-(2/5) = 01001.
Верхнее разбиение окружности
I0+ = [0, 1-p/q) и
I1+ = [1-p/q, 1).
Верхняя последовательность s+(p/q) определяется тогда
относительно этого разбиения. Заметим, что
I0+, I1+
отличается от I0-, I1-
только в конечных точках. Например s+(1/3) = 010
т.к. орбита 1/3 → 2/3 → 0... и
I0+ = [0, 2/3), I1+ = [2/3, 1).
Для 2/5, получаем s+(2/5) = 01010.
Теорема.
Корневой точки p/q-листа касаются лучи 0.(s-(p/q)) и
0.(s+(p/q)).
Где 0.(s) означает двоичное разложение с повторяющейся строкой
s. Например,
0.(001) = 0.001001... = 0012/1112 = 1/7,
0.(010) = 2/7 и 0.(01001) = 10012/111112 = 9/31,
0.(01010) = 10/31.
Отметим, что s-(p/q) и s+(p/q)
отличаются только в последних двух цифрах. Действительно, можно написать
s-(p/q) = s1...sq-2 0 1
s+(p/q) = s1...sq-2 1 0
Причина состоит в том, что верхняя и нижняя последовательности совпадают
за исключением Rp/qq-2(p/q) = -p/q и
Rp/qq-1(p/q) = 0, которые совпадают с
конечными точками разбиения окружности.
Если определить размер p/q-ветки как длину интервала
[0.(s-(p/q)), 0.(s+(p/q))], тогда ее можно
вычислить точно используя то, что s±(p/q)
отличаются только в двух конечных точках.
Теорема. Размер p/q-ветки 1/(2q-1).
Теорема. Пусть α/β < γ/δ
два родителя p/q-ветки в последовательности Фаррея. То она больше
чем любая другая ветвь между двумя родителями.
[1] Robert L. Devaney
The
Mandelbrot Set and The Farey Tree
Содержание
«Периодические орбиты и внешние лучи
изменено 14 апр 08