Внешние лучи для первичных листьев

В [1] Девани приводит некоторые факты о внешних M-лучах листьев касающихся главной кадиоиды.
Напомним, что Bp/q лист состоит из значений c при которых у квадратичного отображения есть притягивающий q-цикл. Корневой точки p/q-листа касаются два M-луча и угол каждого из этих лучей имеет период q относительно удвоения. Углы двух параметрических лучей совпадают с углами динамических лучей, ограничивающих сектор критического значения S1. Корнеая точка p/q-листа делит M на две части. Компонент содержащий этот лист называется p/q веткой.

Например налево от кардиоиды (правый рисунок) находится самый большой 1/2-лист, поэтому его корневой точки должны касаться два луча с периодом 2 относительно удвоения. Два единственных таких угла 1/3 и 2/3. Налево два динамических луча с углами 1/3 и 2/3 касаются неустойчивой неподвижной точки z2. Зеленый сектор S1 содержит точку z = c.
Рассмотрим 1/3-лист сверху от главной кардиоиды. Этот лист лежит между лучами 0 и 1/3. Только два угла между 0 и 1/3 имеют период 3 при удвоении - 1/7 и 2/7, поэтому эти лучи касаются корневой точки 1/3.
2/5-лист лежит между листьями 1/3 и 1/2. Поэтому два луча должны иметь период 5 относительно удвоениея и лежать между 2/7 и 1/3. Единственные два таких угла 9/31 и 10/31, т.о. эти два луча касаются 2/5-листа.

Лучи касающиеся p/q-листа

Пусть Rp/q означает p/q-поворот единичной окружности, т.е.
    Rp/q(θ) = e2πi(θ+p/q).
Рассмотрим символические последовательности возникающие при вращении R с использованием двух разбиений окружности. Нижнее разбиение окружности определяется как
    I0- = (0, 1-p/q]   и   I1- = (1-p/q, 1].
Мы определим нижнюю последовательность s-(p/q) для p/q, возникающую при вращении Rp/q относительно этого разбиения. Например, s-(1/3) = 001 т.к. I0- = (0, 2/3], I1- = (2/3, 1] и орбита 1/3 → 2/3 → 1 → 1/3... лежит в I0-, I0-, I1- соответственно. Аналогично s-(2/5) = 01001.
Верхнее разбиение окружности
    I0+ = [0, 1-p/q)   и   I1+ = [1-p/q, 1).
Верхняя последовательность s+(p/q) определяется тогда относительно этого разбиения. Заметим, что I0+, I1+ отличается от I0-, I1- только в конечных точках. Например s+(1/3) = 010 т.к. орбита 1/3 → 2/3 → 0... и I0+ = [0, 2/3), I1+ = [2/3, 1). Для 2/5, получаем s+(2/5) = 01010.

Теорема. Корневой точки p/q-листа касаются лучи 0.(s-(p/q)) и 0.(s+(p/q)).
Где 0.(s) означает двоичное разложение с повторяющейся строкой s. Например, 0.(001) = 0.001001... = 0012/1112 = 1/7, 0.(010) = 2/7 и 0.(01001) = 10012/111112 = 9/31, 0.(01010) = 10/31.

Отметим, что s-(p/q) и s+(p/q) отличаются только в последних двух цифрах. Действительно, можно написать
    s-(p/q) = s1...sq-2 0 1
    s+(p/q) = s1...sq-2 1 0

Причина состоит в том, что верхняя и нижняя последовательности совпадают за исключением Rp/qq-2(p/q) = -p/q и Rp/qq-1(p/q) = 0, которые совпадают с конечными точками разбиения окружности.
Если определить размер p/q-ветки как длину интервала [0.(s-(p/q)), 0.(s+(p/q))], тогда ее можно вычислить точно используя то, что s±(p/q) отличаются только в двух конечных точках.
Теорема. Размер p/q-ветки 1/(2q-1).
Теорема. Пусть α/β < γ/δ два родителя p/q-ветки в последовательности Фаррея. То она больше чем любая другая ветвь между двумя родителями.

[1] Robert L. Devaney The Mandelbrot Set and The Farey Tree


Содержание   «Периодические орбиты и внешние лучи
изменено 14 апр 08