Топологические солитоны в Гейзенберовском
ферромагнетике
Теория n-поля
В модели Гейзенберга спин является трехмерным вектором
n = (n1, n2, n3) единичной длины
n2 = 1 . Рассмотрим поле n(x,y)
на двумерной плоскости. В непрерывном пределе энергия системы
E = 1/2 ∫ dx dy
(nx· nx +
ny· ny ) ,
nx= ∂n/∂x .
Чтобы полная энергия системы оставалась конечной необходимо, чтобы
n(∞) → no . Тривиальному минимуму
E = 0 соответствует поле n(x,y) = no .
|
При помощи стереографической проекции каждой точке сферы
n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)
можно поставить в соответствие точку на плоскости w = (u, v)
w = u + i v =
(n1 + i n2)/(1 - n3) =
ctg(θ/2) eiφ.
Отметим, что все бесконечно удаленные точки плоскости отображаются
в одну точку - "северный" полюс сферы. Используя соотношения
|
n1 = 2u/(1 + u2 + v2),
n2 = 2v/(1 + u2 + v2),
n3 = 1 - 2/(1 + u2 + v2),
получим для энергии (см. также непрерывный
предел)
E = 2 ∫ dx dy
(ux2 + vx2 +
uy2 + vy2) /
(1 + u 2 + v 2)2 =
2 ∫ dx dy
[(ux - vy )2 +
(uy + vx )2 +
2(ux vy - uy vx )] /
(1 + u 2 + v 2)2. (*)
Переходом к сферическим координатам с помощью выражений
u = ctg θ/2 cos φ , v = ctg θ/2 sin φ
третье слагаемое в квадратных скобках сводится к топологическому заряду
∫ sin θ
(φxθy -
φyθx) dx dy =
∫ sin θ dφ dθ =
∫ dΩ = 4π Q .
Поэтому из (*) следует, что
E ≥ 4π Q
и минимум достигается при выполнении условии Коши-Римана
ux - vy = 0,
uy + vx = 0 ,
т.е. когда w(z) = u(x,y) + iv(x,y) является аналитической функцией
z = x + iy.
Инстантоны
Если положить на бесконечности w(∞) → 1 ,
тогда n-инстантонное и n-антиинстантонное решения
w = ∏i=1,n (z - ai )/(z -
bi )
и w = ∏i=1,n (z* - ai
)/(z* - bi ) ,
где |ai| и αi = Arg(ai )
определяют радиус и фазу i-го инстантона, а комплексное число
bi его положение.
Одноинстантонное решение
w = u + i v =
1 - eiα / z = ctg(θ/2) eiφ ,
Т.к. E не изменяется при масштабных преобразованиях x' = ax ,
то энергия инстантона не зависит от радиуса. Поэтому использовано |a| = 1
и b = (0 + 0i) . Антиинстантон отличается заменой z на
сопряженное z* .
3D VRML модели полей (смотри
Why VRML?):
инстантон с α=0, антиинстантоны с
α=0, α=1.5,
"чупа-чупс". 3D модели полезны для общего ознакомления,
но плоские картинки кажется мне более информативными.
Приведенный ниже Java аплет строит вид сверху на векторное поле антиинстантона
с фазой α = 0 . По краям приведен вид сбоку на сечения вдоль
горизонтальной и вертикальной серых линий. Красным цветом изображены
вектора, которые направлены на наблюдателя, синие вектора направлены от него.
w(∞) → 1 что соответствует направлению поля на бесконечности
прямо на нас. Направлению строго от нас соответствует w(zo) =
-1 . Откуда следует, что "полюс" (синяя точка на картинке) расположен
в zo = eiα/2 . Наконец для векторов
лежащих строго в плоскости рисунка Re(w) = 0 , что соответствует
окружности с радиусом 1/2 и центром в полюсе, проходящей через начало
координат. Внутри окружности стрелки (голубые) направлены он нас, а
снаружи на нас.
Управление:
Щелкните изображение мышкой с Alt (Ctrl) чтобы растянуть (сжать)
картинку в 2 раза. Чтобы сдвинуть перекрещивающиеся серые линии потяните их
мышкой. Координаты пересечения видны в строке состояния (внизу окна).
Нажмите Enter чтобы ввести новое значение фазы (поле a).
Отображения сферы на сферу
При помощи стереографической проекции плоскость (x1,
x2) можно "свернуть" в сферу Sx2
(при этом на бесконечности все спины направлены одинаково т.к. все бесконечно
удаленные точки плоскости переводятся в "северный" полюс сферы).
Т.о. n-поле задает отображение сферы на сферу
Sx2 → Sn2 .
Подобно отображениям окружности на окружность, неэквивалентные отображения
отличаются топологическим зарядом, т.е. тем сколько раз сфера
Sx2 наматывается на сферу
Sn2.
|
Для трех близких векторов n(x),
n(x+dx1) и
n(x+dx2) площадь "занимаемая" на сфере
Sn2 равна величине телесного угла
dΩ образованного этими векторами. Для бесконечно малых
dx1, dx2 телесный угол
пропорционален объему, заключенному между этими векторами
(n ·[∂1n ,
∂2n]) dx1 dx2 .
|
Поэтому полный топологический заряд равен
Q =
1/4π ∫ dΩ(x) =
1/4π ∫ sin θ
dθ(x)dφ(x) = 1/8π
∫ d2x εμν(n
[∂μn, ∂μn]) .
Что прячет ежик?
Отображения Sx3 → Sn2
классифицируются инвариантом Хопфа. Наличие таких нетривиальных отображений
приводит к локализованным топологическим солитонам в трехмерной модели
Гейзенберга (для которых n(∞) → no ).
Но если (по аналогии с вихрями) область
пространства с Гейзенберговским ферромагнетиком окружить сферой и задать на
ней ненулевой топологический заряд (простейшая ситуация, когда все стрелки
торчат наружу по радиусу - т.е. "ежик"), то:
Что будет находиться внутри - монополь?
Чему они будут дуальны, если поле принимает значения на сфере, а не в U(1)?
Будут ли притягиваться Q = 1 и Q = -1 и как? :) ...
Я благодарен Д.Е.Бурланкову за полезные обсуждения.
[1] А.А.Белавин, А.М.Поляков Метастабильные состояния двумерного
изотропного ферромагнетика. Письма в ЖЭТФ, 22(10), 503 (1975).
[2] А.М.Переломов Решения типа инстантонов в киральных моделях.
УФН 134, 577, (1981)
Содержание
«Солитоны в XY модели
»Зоопарк "ежиков"
изменено 7 июня 2004