Метод Монте-Карло
Как мы убедились, если при вычислении средних на компьютере генерировать
спиновые конфигурации случайным образом, то мы очень часто будем получать
маловероятные состояния, которые дают очень малый вклад в средние.
Реализуемые методом Монте-Карло, случайные блуждания чаще всего проходят
через состоя системы наиболее выгодные с энтропийно- энергетической точки
зрения.
Алгоритм Метрополиса
В алгоритме Метрополиса на каждом шаге марковского процесса по имеющейся
конфигурации строится следующая изменением одной из степеней свободы
(переворотом одного спина). Новая конфигурация принимается (т.е. спин
переворачивается) с вероятностью, равной отношению гиббсовских весов новой
и старой конфигураций
W12 =
exp[(E1-E2)/T]
|
при E1 < E2
|
W12 = 1
|
при E1 > E2
|
где E1, E2 - энергии старой и новой конфигураций
спинов соответственно. Если новая конфигурация отбрасывается, то старая
используется в усреднении еще один раз. В асимптотическом пределе частота
прохождения через данное состояние оказывается пропорциональной его
вероятностному (гиббсовскому) весу. Средние вычисляются с использованием
полученных конфигураций (более подробное описание алгоритма можно посмотреть у
Казакова или Гулда и Тобочника). Алгоритм Метрополиса может быть легко
применен для моделирования фазового перехода в XY модели.
Далее мы убедимся, что выбирать W12 можно различными
способами. Для того, чтобы итерационный процесс в асимптотическом пределе
приводил к распределению Гиббса достаточно, чтобы вероятности перехода
удовлетворяли принципу детального равновесия
W12 exp(-E1/T) =
W21 exp(-E2 /T) или
W12 / W21 =
exp[(E1-E2 )/T].
Используемое Java приложение основывается на программах приведенных в книге
Гулда и Тобочника. Алгоритм Метрополиса (случайный переворот спина)
последовательно применяется ко всем ячейкам решетки после чего выводятся
"мгновенные" значения Et, Mt и вычисляются
средние по "марковскому" времени
<M>M = 1/T
∑t=1,T Mt ,
<E>M = 1/T ∑t=1,T Et .
Теплоемкость C и магнитная восприимчивость
χ системы могут быть определены по величине
флуктуаций энергии и намагниченности из формул
C = d<E>/dT = n/T2
(<E2> - <E>2) ,
χ = limH→ 0 d<M>/dT
= n/T (<M2> - <M>2) .
Управление Нажмите клавишу мыши, чтобы получить новую конфигурацию
спинов. Нажмите "Enter", чтобы ввести новое значение температуры T.
Неравновесная динамика спинов
Ниже вы видите две особенности в поведении нашей модели. Прежде вего, т.к.
вероятность перехода, получаемая из формулы Метрополиса
P(Si→ Sj ) =
e-ΔEij/T → 1
при высоких температурах (T >> ΔEij),
поэтому в больших сплошных кластерах знак спинов осциллирет. Во вторых, вы
видите рост древовидных структур из левого нижнего угла, т.к. случайный
переворот спинов происходит последовательно по строкам, начиная с этого места.
Алгоритм термостата
В алгоритме термостата на каждом шаге один выбранный спин приводится в
состояние равновесия с термостатом с температурой T при фиксированной
конфигурации остальной системы. Вероятность для спина принять новое значение
+-1 не зависит от его исходного состояния и определяется гиббсовскими
весами двух возможных состояний с энергиями E+ , E-
P+ = exp(-E+ /T) /
[exp(-E+ /T) + exp(-E- /T)] =
exp(-(E+-E- )/T) /
[exp(-(E+-E- )/T) + 1] ,
P- = exp(-E- /T) /
[exp(-E+ /T) + exp(-E- /T)] = 1 - P+ .
Легко видеть, что для этих вероятностей выполняется условие
детального равновесия. При высоких температурах
P+ , P- → 1/2, что ведет к
гладкому "плавлению" кластеров.
Однако, вы можете заметить, что при низкой температуре (например
T = 1) и старте из случайной (горячей) конфигурации спинов в системе
формируются группы метастабильных кластеров. Затем они очень медленно
уменьшаются в размерах и в системе остается один большой кластер. В методе
Метрополиса равновесие устанавливается быстрее, однако в нем также может
формироваться устойчивая доменная стенка.
Содержание
«2D модель Изинга
»Критическое замедление
изменено 31 декабря 2001