Из-за периодической зависимости энергии взаимодействия от углов кроме длинноволновых флуктуаций на 2D решетке возникают возбуждения с нетривиальной топологией - вихри и антивихри. Центр вихря на рисунке отмечен красным квадратом, а центр антивихря - синим. При обходе вдоль любого замкнутого контура, содержащего вихрь или антивихрь спин поворачивается на ±;2π . При движении в направлении возрастания фазы (т.е. если спин вращается против часовой стрелки) вихрь обходится по контуру против часовой стрелки, а антивихрь - по часовой. | |
Т.к. изменение фазы зависит от разности направлений спинов, то оно не изменится, если мы повернем все спины одновременно на произвольный угол. Поэтому все три верхние конфигурации на Fig.2 - вихри, а нижние - антивихри. Легко убедиться (см. Fig.3), что при обходе сложного контура 123456 изменение фазы равно сумме набегов фаз на контурах 1256 и 2345 . |
По аналогии с моделью Изинга спины с разными углами φ можно раскрашивать разными цветами Hue(φ/2π) (см. рисунок налево). Очевидно, что вихрям и антивихрям на нем соответствуют особые точки (дефекты раскраски) в которых все цвета встречаются вместе. |
При низких температурах все спины стремяться выстроиться (хотя бы локально) в одном направлении. Если тепловая флуктуация приводит к смене направления одного из спинов, то рядом рождается пара вихрь - антивихрь. При обратной флуктуации спина эта пара аннигилирует. При низкой температуре вихрь и антивихрь образуют связанную пару. При T > Tc = 0.893 происходит распад (диссоциация) пар - фазовый переход Костерлица-Таулесса. |
На 3D решетке вихри и антивихри можно отображать стрелочками. Их направление определяется направлением обхода элементарного контура по правилу буравчика (при движении вдоль возрастания фазы). Отдельные вихри собираются в вихревые нити и кольца. Из рисунка следует, что флуктуация переворота спина приводит к рождению вихревого кольца. Т.к. противоположные стороны кольца (т.е. вихрь и антивихрь на соответствующей плоскости) притягиваются, то оно стремиться схлопнуться. |
Вы можете поэкспериментировать с 2D вихрями и антивихрями с помощью копии аплета Rongfeng Sun (я только сильнее выделил вихри и антивихри).
Я благодарен А.Самохвалову и В.Курину за полезные обсуждения.